一道曲面积分题目的四种解法

时间:2024-06-03 人气:

摘 要:给出了一道曲面积分题目的四种解法,洞悉高等数学各部分内容之间的内在联系,从而提高学生的数学素质.

关键词:高等数学;曲面积分;解法

The Six Approaches to the Problem of the Surface Integral with Respect to Surface Area

MA Zhihui

(College of Sciences, Shihezi University, Shihezi XinJiang 832000)

Abstract: The four approaches to solve the problem of the surface integral with respect to surface area are given,and we insight into the higher mathematics relation between every part of content, so as to improve the students’ mathematical quality.

Key words: Higher mathematics; surface integral; solution

高等数学学习的一个误区就是”照搬带公式”,不仅使学生逐渐丧失学习高等数学的兴趣,而且使其丧失了学习高等数学的意义.所谓的一题多解就是采用不同的方法解决同一问题.追求一题多解,不仅可以洞悉高等数学各部分内容之间的内在联系,培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力,激发学生浓厚的学习兴趣,,最终达到提高学生逻辑思维能力、创新能力和应用能力.

例 计算曲面积分

其中∑为:的上侧.

解法一 利用第二型曲面积分的性质.设∑在和平面的投影分别为Dzx和Dxy,由于∑关于平面对称和轮换对称性知

因此

解法二 利用Gauss公式.因为积分区域∑不封闭,做辅助曲面

∑1:

取下侧,则∑1与∑构成一个封闭曲面去外侧,记它所围成的空间闭区域为Ω,由Gauss公式,得

其中是半径为球的体积的.

因为

于是

解法三 利用两类曲面积分之间联系.由于∑为:的上侧,所以法向量为

所以是有向曲面∑在点处的

法向量的方向余弦.

由两类曲面积分之间联系知

其中是半径为球的表面积的.

解法四 利用参数方程.由于积分曲面∑为:为半球面,设

所以

因此

通过上面四种方法的讲解,不但可以使学生掌握曲面积分计算方法,而且还有利于洞悉高等数学各部分内容之间的内在联系,从而提高学生的数学素质.

参考文献

[1] 同济大学应用数学系. 高等数学[M]. 5版. 北京: 高等教育出版社, 2002.

[2] 方明亮、郭正光.高等数学[M]. 广州:广东科技出版社,2009.

[3] 四川大学数学学院高等数学教研室.高等数学[M].4版.北京: 高等教育出版社, 2009.

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