用列表格法分析数量关系解决数学应用题

时间:2024-06-10 人气:

从小学到初中,,大多数学生遇到文字比较长的应用题一直不知道怎样去分析,去寻找题中的数量关系,不知道怎样把实际问题化成一个数学问题,建立数学模型。从上学期开始,我尝试采取用表格分析的方法,帮助学生解决列方程解应用题。先列表格,把求解目标、已知条件分列出来,使数量关系明朗化,列方程就容易了。

列表法就是借助于列出表格的形式进行解题的一种方法,在有些应用题里,各种数量间的关系比较隐蔽,一下子不容易看出,而且条件繁多,变化复杂,遇到这些题目时,可以采用列表法来分析条件。列表时,可以先根据题意画出表格,然后把问题中所有的已知量、未知量、隐蔽条件和所求量,用通用的记号、符号、字母等来代替,逐一填入表格中。而把问题中无关要紧的语句去掉,使我们能集中注意力考虑问题,迅速地找到等量关系,从而使问题得到正确解决。下面举几个例子加以说明。

例1:广东宏远队的朱芳雨是中国男篮的主力前锋,在一场洲际杯比赛中,他一人独得23分(不含罚球得分).已知他投进3分球比2分球少4个,他一共投进了几个3分球和几个2分球?

认真阅读上述题目,我们思考以下问题:

1.题中涉及哪几个量?

2.投中3分球个数和2分球的个数关系如何?得分是多少?

3.题目中的相等关系是什么?(3分球得分+2分球得分=23;2分球个数-3分球个数=4).

假设投中3分球个数为x个,填写以下表格,根据表格和相等关系列出方程求解,并想一想你能列出其他方式的表格吗?

到了七年级,学习了二元一次方程组,本题可以假设两个未知数,利用以上两个等量关系,列出两个方程,构成方程组求解,更易于理解。

如此,我在问题情景中,初步体验用表格分析问题各量间的相互关系,感受到列表格是解决问题的一个重要手段.

例2:某商店以2400元购进某种盒装茶叶,1月份每盒按进价增加20%作为售价,售出50盒。2月份每盒以低于进价5元作为售价,售完余下的茶叶。在整个买卖过程中盈利350元。求每盒茶叶的进价。

第一步,静心读题理头绪

题意叙述了购进茶叶以及分两个月售完茶叶的过程;题目中有三类不同实际意义的数量:单价,茶叶的盒数,总价;理清这两方面的头绪后,就用表格框架表示出来。

第二步,分析数量填表格

先设购进茶叶的单价为每盒元x,再在表内填入已知数量:购进茶叶的总价2400元,1月份售出茶叶50盒。然后用的x代数式分别表示,1、2月份售出茶叶的单价,表示购进茶叶的盒数和二月份售出茶叶的盒数。在这基础上,以单价与盒数相乘,分别表示1、2月份售出茶叶的总价,得到如下表格(见下表):

第三步,两个方面作比较

题目还有个条件:盈利350元。就是把两个月售出的总价之和与购进的总价比较,售出的总价之和多350元。

第四步,平衡多少列方程

从“多=少+差”的角度平衡这两方面,列出方程:

50(1+20%)x+(x-5)(2400/x-50)=2400+350

(下略,答案是:每盒茶叶的进价是40元)

用列表法分析条件,不但眉目清楚,而且条件也不会遗漏,对初学者来说,是比较实用的。下面再举一例。

例3:七年级学生去距学校10千米的博物馆参观,一部分同学骑自行车先走,过了20分钟,其余同学乘汽车出发,结果他们同时到达。已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍,求骑车同学的速度。

思考:这是匀速运动问题,它涉及到三个量:路程,速度,时间,其关系式为S=Vt,现分自行车、汽车两种情况列表如下:

在中学数学应用题中,这类问题一般编有两层或两方面的内容(如本题中的自行车和汽车),而在三个关系量中,每方面只具体地给出一个已知量(如本题的距离10千米),其他两个量不明确给出(如本题两种车的速度和这两种车到达博物馆所用的时间),题中还给出了三个量之间的等量关系(如题中有:⑴自行车比汽车多用20分钟。⑵汽车的速度是自行车速度的2倍)。

现把已知条件填入上表,进行观察:

由上表可以看出,本题共有4个未知量,若想列一元方程来解,就假设一个未知数x来表示这4个未知量中的任何一个,这样一来就有4种设法,到底采用哪一种设法较好呢?一般地说:(1)题目要求什么,就设什么为x;(2)列未知数的系数为整数优于分数。

根据公式S=Vt(隐含着的等量关系)和上面所说的设元方法,现设自行车的速度为x千米/时,填得如下表:

其中,2x利用了题设中的等量关系:汽速=自行车速度的2倍,利用了隐含的等量关系;

没有利用的等量关系是:自走时间-汽走时间=20分钟 ,据此,可列方程:_______-_______=________,求得自行画的速度为每小时15千米。

换个角度思考,如果把本题的要求改为:骑车同学到博物馆用了多少时间?则可设汽车到达博物馆用了x小时,也可以得到下表:

对于任何一个应用题,只要仔细地分析题中的数量关系,都可以得到几个不同的方程方程的意义,这正是我们建起方程的根本。用表格法分析题中的数量关系与线段、图解法一样,仅仅是分析的一种手段而已,并没有什么独创之处。能用表格法分析的应用题,同样也可以借助于其它工具分析。但对于有几个量限制的问题,通过表格法我们更容易理清各个量之间的关系,降低题目难度,快速找到等量关系,列出方程。

几点说明:

1.针对不同的应用题,可以设计不同的表格。表格的横向反映不同数量的关系,即:每份数×份数=总数;表格的纵向反映题目包含的不同阶段或不同方面。

2.填表后总有一个条件没有用过,正好用来列方程。

3.在用此法解决问题时,随着解题的着眼点的不同,表格的形式也不是千篇一律的,必须在实践中灵活运用。

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