摘 要：本文建立了短期模型--指数增长模型和长期模型Logistic人口增长模型，预测了2014年到2040年中国的总人口情况。其次，运用Leslie模型探讨了中国未来几十年的人口分组，即人口结构问题，继而采用老龄化指数分析了我国人口老龄化程度及其发展。在对全国人口问题进行过探讨后，我们又以此为基础，以青海的实际情况为例，建立合理的评价体系。

关键词：出生率；死亡率；指数增长模型；一元线性回归分析

1 问题重述

调整生育政策，被视为缓解“人口老龄化”，保持合理的劳动力数量、结构，促进经济持续健康发展的主要手段。于是，我国采取“单独二胎”政策来调节这种现象。但是，单独二胎实施后，我国未来几十年的人口结构及老龄化程度又当如何变化呢？建立数学模型，预测实行单独二胎后到2040年我国人口数及人口结构、以及老龄化程度。并阐明“单独二胎”对青海（人口、经济、住宅、教育等）的影响。

2 模型假设

1、把研究对象看成独立封闭的系统，即不考虑迁入迁出的因素对人口的影响。

2、忽略各种突发性事件，如车祸、地震等对人口总数的影响。

3、忽略经济，社会环境，政治坏境，资源等因素对人口的影响。

4、假设一定时期内人口增长率保持不变。

5、假设平均生育年龄为24～34岁，且24～34岁独生子女人数占独生子女总人数的比例与总人口中24～34岁人数占总人口的比例相等。

3 模型的建立与求解

3.1 用于短期预测（2014～2020）的模型

200多年前，英国人口学家T.Malthus（1766—1834）调查了英国100多年的人口统计资料，得出了人口增长率不变的假设，并建立了著名的人口指数增长模型。

另外，指数增长模型与19世纪以前欧洲的一些地区统计数据有较好地吻合，迁往加拿大的欧洲移民后代人口也大致符合这个模型，另外用它做近期人口预测可以得到较好的效果。

记时刻t的人口为x（t），当考察的地区范围足够大时，x（t）是一个很大的整数，为了利用微积分这一工具，将x（t）视为连续的可微分的。记初始时刻（t=0）的人口为x0。假设人口增长率为常数r，即单位时间内x（t）的增量dx/dt等于r乘以x（t），于是得到x（t）满足微分方程

0xx（0）rx，dx/dt==

由这个公式很容易解出

ert0xx（t）..=

为了估计指数增长模型中的参数r和x0，需将（1）式取对数，得

0lnxa，lnxy，arty==+=..

以t为横坐标，y为纵坐标，利用Excel表格，选定数据（国家统计局），插入图表，具体选项为“XY散点图”中的“平滑散点图”。则得到以下图表：

由上图可知，2000～2010年，y与t有很好的线性相关，2011～2013年，y与t有很好的线性相关。在此，我们取2011～2013年的数据来估算指数增长模型（1）中的参数r 。

以t为横坐标，y为纵坐标，利用Excel表格，选定2011、2012、2013年的数据，插入图表，具体选项为“XY散点图”中的“平滑散点图”。再在表格中“添加趋势线（线性类型）”，并在添加趋势线选项中选“显示公式”和“显示R平方值”，则在曲线图中自动添加出方程y=rt+a及R2。得到下图：

由上图得到方程：

y=0.0049x+11.811

由上式得到：r=0.0049

由第六次人口统计资料显示，截止到2012年，我国独生子女家庭突破一亿，总人口中25～34岁人数所占比例为14.87%，由国家统计局统计资料显示，在生育阶段的独生子女，想要二胎的人群大约占50.1%，预测2014年独生子女家庭想要二胎的比例为：g*50.1%

因此我们得到：“单独二胎”政策实施后，，2014年人口增长率的增量为：

8810*607250.1%）/1.3*g*10*（1r=Δ

所以Δr=0.00275

所以“单独二孩”实施后的人口指数方程为：

r）t（r0exx（t）Δ+=

3.2 用于长期预测（2020～2040）的模型

长期看来，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期内的人口演变过程。当人口到达一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小。因此，我们引入阻滞增长模型——logistic模型。分析人口增长到一定程度后增长率下降的主要原因，自然资源、环境条件等因素对人口增长起着阻滞作用。

阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口的增长而下降，所以，若将r表示成x的函数，r（x）应该是一个减函数。

dx/dt0x）0（x，x）x（rdt/dx==

于是对r（x）做一个最简单的假设：

r（x）=r-sx（r，x>0）

为了确定s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量mx，当人口到达mx时人口不再增长，即增长率r（mx）=0，带入r（x）=r-sx，得：

r（x）=r（1-x/mx），

联立上面的方程得到：

0mx）0（x），x/x1（rxdt/dx=.=

将上式用变量积分法求解得到：

rt-0mm1）e-xx（1x）t（x+=

则实施“单独二孩”后，改造公式为：

t）rr（0mme）1xx（1x）t（xΔ+..+=

根据1991年，中国科学院自然资源综合考察委员会发表的《中国土地生产能力及人口承载能力研究》显示，中国的人口容量约为16亿，所以xm=16亿。

以2020年为0年，2021年为第一年，以此类推，求解2021～2040年的人口，整理得下表：

4 模型的检验

1.对一元线性回归检验

此处检验了年份与总人口之间的相关性，下面以另外的一组年份与人口的关系为例说明检验方法。首先把收集到的1990年到2000年数据，画成“散点图”；接着，我们可以观察散点图上点的分布规律，拟合一元线性回归线。

从下图的拟合程度可知年份与人口呈线性关系，即可得出结论：短期内人口自然增长率几乎不变。

2.对指数增长模型的检验

为了验证指数增长模型x（t）=x0ert的准确性，我们查找了2000年到2005年的人口数据，进行了以下验证。利用x（t）=x0ert（经计算，r=0.0056）计算出2000年到2005年的拟合人口数，得下表：

有图可以看出，指数增长模型所预测的拟合人口接近于实际人口数，所以，指数增长模型所预测的人口总数准确性很高，其预测得出的数值可以令人相信。

参考文献

[1] 谢金星，姜启源，叶俊.数学建模（第四版）.高等教育出版社：163—173

[2] 国家统计局，网站http：//www.stats.gov.cn/tjsj/pcsj/

[3] 中国科学院自然资源综合考察委员会 .《中国土地资源生产能力及人口承载力研究》报告，1991

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